Матрицы, системы и кусочные функции

18 октября 2026

Определение

Пусть

𝐴 = (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) и 𝑏 = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) .

Пример

Вектор $𝑥$ из системы $𝐴 𝑥 = 𝑏$ можно записать через обратную матрицу:

𝐴^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & - 2 & 6 \\ 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}), 𝑥 = 𝐴^{- 1} 𝑏 .

Доказательство

Прямое умножение

𝐴 𝐴^{- 1}

даёт единичную матрицу: внедиагональные элементы сокращаются, а диагональные остаются равны единице.

Многострочная запись с выравниванием и кусочной функцией выглядит так:

\begin{aligned} 𝑔 (𝑡) & = {\begin{cases} 𝑡^{2} если 𝑡 \geq 0 \\ - 𝑡 если 𝑡 < 0 \end{cases} \\ lim_{𝑛 \to \infty} \frac{1}{𝑛} \sum_{𝑘 = 1}^{𝑛} 𝑘 & = \infty . \end{aligned}

Замечание

Для сравнения с более простой предельной формулой см. закон больших чисел, а пример визуализации — в заметке с графиком.