Прямые интегралы гильбертовых пространств и разложимые операторы

16 октября 2026

Измеримое поле и прямой интеграл

Определение

Пусть $(𝑋, 𝜇)$ — пространство с мерой, а ${({ℋ︀}_{𝑥})}_{𝑥 \in 𝑋}$ — измеримое поле гильбертовых пространств. Это означает, что выбрано достаточно много сечений $𝜉 : 𝑥 \mapsto 𝜉 (𝑥) \in {ℋ︀}_{𝑥}$ , для которых скалярные произведения $𝑥 \mapsto ⟨ 𝜉 (𝑥), 𝜂 (𝑥) ⟩$ измеримы.

Прямой интеграл — это пространство классов измеримых сечений с конечной квадратичной нормой:

ℋ︀ = \int_{𝑋}^{\oplus} {ℋ︀}_{𝑥} 𝑑 𝜇 (𝑥) = {𝜉 : \int_{𝑋} ‖ 𝜉 (𝑥) ‖^{2} 𝑑 𝜇 (𝑥) < \infty} / \sim .

Два сечения отождествляются, если они совпадают почти всюду. Скалярное произведение задаётся формулой

⟨ 𝜉, 𝜂 ⟩ = \int_{𝑋} ⟨ 𝜉 (𝑥), 𝜂 (𝑥) ⟩ 𝑑 𝜇 (𝑥) .

Разложимый оператор

Определение

Пусть для почти всех $𝑥 \in 𝑋$ задан ограниченный оператор $𝐴_{𝑥} : {ℋ︀}_{𝑥} \to {ℋ︀}_{𝑥}$ . Семейство называется измеримым, если оно переводит измеримые сечения в измеримые. Если

{ess sup}_{𝑥 \in 𝑋} ‖ 𝐴_{𝑥} ‖ < \infty,

то оно задаёт разложимый оператор

𝐴 = \int_{𝑋}^{\oplus} 𝐴_{𝑥} 𝑑 𝜇 (𝑥), (𝐴 𝜉) (𝑥) = 𝐴_{𝑥} 𝜉 (𝑥) .

Теорема (норма разложимого оператора)

Для разложимого оператора выполняется

‖ 𝐴 ‖ = {ess sup}_{𝑥 \in 𝑋} ‖ 𝐴_{𝑥} ‖ .

Кроме того,

𝐴^{*} = \int_{𝑋}^{\oplus} 𝐴_{𝑥}^{*} 𝑑 𝜇 (𝑥) .

Доказательство

Неравенство $‖ 𝐴 ‖ \leq {ess sup}_{𝑥} ‖ 𝐴_{𝑥} ‖$ следует из определения нормы прямого интеграла: нужно применить поточечную оценку $‖ 𝐴_{𝑥} 𝜉 (𝑥) ‖ \leq ‖ 𝐴_{𝑥} ‖ ‖ 𝜉 (𝑥) ‖$ и проинтегрировать её.

Обратная оценка получается выбором сечений, сосредоточенных на множествах, где $‖ 𝐴_{𝑥} ‖$ близка к существенному супремуму. Именно здесь используется измеримость поля и семейства операторов.

Диагональные операторы и слои

Пример

Для ограниченной измеримой функции $𝜑$ оператор умножения имеет вид

𝑀_{𝜑} = \int_{𝑋}^{\oplus} 𝜑 (𝑥) 𝐼_{{ℋ︀}_{𝑥}} 𝑑 𝜇 (𝑥) .

Он действует отдельно на каждом слое. Разложимые операторы — естественное расширение этой конструкции: на слое $𝑥$ вместо скаляра $𝜑 (𝑥)$ стоит оператор $𝐴_{𝑥}$ .

Замечание

В стандартной ситуации алгебру разложимых операторов можно описать как коммутант алгебры всех диагональных операторов

𝑀_{𝜑}

. Это и объясняет, почему прямые интегралы удобны при симметриях и спектральных разложениях.

Конечная прямая сумма

Пример

Если $𝑋 = {1, \dots, 𝑛}$ с считающей мерой, то

\int_{𝑋}^{\oplus} {ℋ︀}_{𝑥} 𝑑 𝜇 (𝑥) = {ℋ︀}_{1} \oplus \dots \oplus {ℋ︀}_{𝑛}, \int_{𝑋}^{\oplus} 𝐴_{𝑥} 𝑑 𝜇 (𝑥) = 𝐴_{1} \oplus \dots \oplus 𝐴_{𝑛} .

Поэтому прямой интеграл является непрерывным аналогом блочно-диагонального оператора. С конкретными матрицами можно сравнить отдельный пример.

Связь со спектральной теоремой

Замечание

Для самосопряжённого оператора спектральная теорема в подходящем представлении даёт

𝑇 = \int_{𝜎 (𝑇)}^{\oplus} 𝜆 𝐼_{{ℋ︀}_{𝜆}} 𝑑 𝜈 (𝜆) .

Параметр $𝜆$ нумерует спектральные слои, а размерность ${ℋ︀}_{𝜆}$ кодирует спектральную кратность. В таком виде оператор действует умножением на координату спектра.

Для вводного обзора см. статью Encyclopedia of Mathematics.